Методические приёмы обучения младших школьников
решению нестандартных математических задач
в 1-2 классах по программе «Школа России»
В методических рекомендациях к учебникам математики по данной программе, к сожалению, не предлагается систематического описания методических приёмов обучения младших школьников решению нестандартных математических задач, а даются лишь небольшие указания, где и когда можно применять нестандартные задачи. Авторы учебника рекомендуют использовать нестандартные задачи во время устного счета, при обобщении материала, закреплении знаний и поясняют, что эти задания не стоит считать обязательными, но было бы большой ошибкой опускать их, боясь трудностей.
Остановимся подробнее на методических приёмах обучения младших школьников решению нестандартных математических задач, которые предлагают авторы программы по математике УМК «Школа России».
Арифметические ребусы и головоломки решаются путем перебора вариантов решения и их проверки и способствуют развитию у учащихся гибкости и вариативности мышления, приучают детей к критическому осмыслению полученных результатов.
Рассмотрим примеры решения арифметических ребусов.
1. Вставьте знаки «+» или «-» так, что получились верные равенства и неравенства (рис.46) [14, с.61].
Рис.46
Учащиеся подставляют знаки «+» или «-» в выражение и проверяют верность равенства или неравенства при том или ином знаке.
Ученик рассуждает так: «Если в первое неравенство поставить знак «-», то получим 5>5. Это неверно. Если поставить знак «+», то получим 7>5. Это верно. Следовательно, верное нервенство получается при знаке «+» 6+1>5 » и т.д.
2. Вставьте нужные числа так, чтобы равенство стало верным (рис. 47) [14, с.110].
Рис.47
Учащиеся методом перебора чисел и их проверки должны отыскать нужные числа. Упражнение используется при закреплении знаний о составе чисел.
Ученик рассуждает: « Число 7 можно получить, если к 5 прибавить 2. Чтобы получить третье слагаемое, можно разложить число 2 или число 5. Представим число 2 как сумму 1+1, тогда получим следующее выражение 5+1+1=7. Второй вариант, разложим число 5 на сумму 3+2, получим новое выражение 3+2+2=7» и т.д.
В методических рекомендациях к учебнику по математике для 2 класса предлагаются следующие рекомендации по решению ребусов [2]. Вот некоторые из них.
3. Решить ребус (рис.48) [11, с. 16].
Рис.48
Решая ребус, ученики объясняют, какие действия требуется выполнить, что надо сделать, чтобы записать выражения, как выполнить проверку.
Учитель спрашивает: «Как найти число единиц в первом слагаемом? Ученик рассуждает: «Я подумаю, к какому числу единиц надо прибавить 8 ед., чтобы получить 8 ед. Это нуль единиц, значит, первое слагаемое 20. Подумаю, какое число десятков надо прибавить к 2 дес., чтобы получить 7 дес.. Это 5 дес., второе слагаемое будет 58.
Пишу выражение и проверяю.
+20
58
78
Цифры подобраны правильно». Аналогично решают второй ребус.[2]
4. Ребус (рис. 49)[11, c. 34].
Рис.49
Этот числовой ребус отличается от ранее рассмотренных тем, что надо найти неизвестные цифры в записи не только компонентов действий, но и результатов.
В частности, в первом ребусе надо найти число единиц во втором слагаемом и число десятков в сумме.
Ученик рассуждает: «Подумаю, сколько единиц надо прибавить к 0 ед., чтобы получилось 5 ед. Надо прибавить 5 ед., значит, второе слагаемое - 25. Теперь узнаю число десятков в сумме: 6 + 2 = 8, значит, в сумме будет число 85. Проверю: 60 + 25 = 85».
Во втором ребусе надо узнать число десятков вычитаемого и число единиц в разности. Ученик рассуждает: «Из 4 ед. нельзя вычесть 6 ед. Беру из 8 дес. 1 дес. Остается 7 дес. 1 дес. и 4 ед. - это 14. Вычту 6 из 14, получится 8 ед. Значит, разность равна 48. Подумаю, сколько десятков надо вычесть из 7 дес., чтобы получилось 4 дес. Это 3 дес. Значит, вычитаемое равно 3» [2].
Работа по заполнению занимательных рамок также сводится к последовательному перебору вариантов, подбору нужных чисел и способствует как развитию комбинаторного мышления, так и отработке вычислительных навыков у детей. Методика работы авторами тоже не представлена, но в учебниках детям показан образец выполнения задания.
Детям предлагается рисунок и надпись к нему (рис. 50):
Рис.50
В занимательных рамках сумма чисел, расположенных по каждой стороне фигуры должна быть равна числу в центре фигуры [10, с.40].
Первая фигура выступает как образец выполнения задания. Далее, когда встречаются занимательные рамки, такой образец отсутствует.
Позднее вводится понятие магического квадрата. Затем дети под руководством учителя выводят алгоритм заполнения магических квадратов с уже заполненной строкой, столбцом или диагональю.
1. Сложи числа в каждом квадрате по строкам, по столбцам, из угла в угол. Если суммы равны, то такой квадрат называется магическим (рис. 51) [10, с.65].
Рис.51
Затем дети под руководством учителя выводят алгоритм заполнения магических квадратов с уже заполненной строкой, столбцом или диагональю.
3. Заполни математический квадрат (рис.52) [10 , с.67].
Рис.52
Учащиеся могут рассуждать: «В верхней строке не хватает цифры 3. В первом столбце не достаёт 1. Видим, что во 2 столбце есть 3 и 2, следовательно, в пустую клетку нужно поставить 1. Во второй строчке уже есть 1 и 2, следовательно, добавляем 3. В последнем квадрате не хватает 2. Проверим: в каждой строке, столбце нет повторяющихся цифр. Задание выполнено».
Далее задания по заполнению магических квадратов предлагаются для самостоятельной работы с последующей проверкой в классе. Магический квадрат третьего порядка не трудно построить простым перебором всевозможных комбинаций.
Вывести единый универсальный алгоритм решения задачи на разрезание и составление фигур нельзя, и не следует требовать от детей, чтобы они объясняли ход своих рассуждений: зачастую это просто невозможно – слишком сложны психические процессы, приводящие к решению, в связи с чем очень сложен и процесс рефлексии. Однако такие задачи целенаправленно и последовательно предлагаются детям для самостоятельного решения и последующего сравнительного анализа всех найденных в классе решений.
Умение в решении таких задач позволяет:
1) в нестандартной ситуации использовать имеющиеся у детей знания о некоторых свойствах известных им геометрических фигур (равенство сторон квадрата, равенство противоположных сторон прямоугольника);
2) совершать мысленные повороты геометрических фигур на плоскости;
3) развивать комбинаторное мышление детей (так как подобные задачи, как правило, имеют несколько решений);
4) формировать умение строить геометрические фигуры на бумаге в клеточку и отрабатывать чертежные навыки.
Впервые для систематической работы предлагается такое задание:
1. Как можно провести в треугольнике 1 отрезок так, чтобы получилось 3 треугольника (рис. 53).
Рис.53
Начерти в тетради такие треугольники и выполни это задание разными способами [11, с.9]. Здесь важно показать учащимся, что первоначальная фигура тоже учитывается.
Затем последовательно вводятся задания такого типа, но не поясняется, каким методом их стоит выполнять:
2. Назови номер фигуры, которую вырезали из прямоугольника (рис. 54) [11, с.35].
Рис.54
3. Каких фигур не хватает? (рис. 55) [11, с.9]
Рис.55
4. Начерти такие фигуры, как на чертеже. Вырежи их. Сложи из них квадрат (рис. 56) [11, с.39].
Рис. 56
Найденные решения (все верные и некоторые неверные) должны выноситься на доску и обсуждаться. При этом, доказывая, что найденное решение верно, детям достаточно сравнить фигуры, полученные при разрезании, с фигурами, нарисованными в этом задании. В дальнейшем задания на разрезание и составление фигур могут быть предложены детям для самостоятельной работы дома, но с обязательной проверкой и обсуждением в классе.
Задания по перекладыванию палочек, как отмечают авторы программы, являются не алгоритмизуемыми. Целенаправленно перебирая варианты решения, учащиеся самостоятельно знакомятся со способами решения таких заданий, развивают наблюдательность. Задания по перекладыванию палочек предлагаются с римскими, арабскими цифрами и на моделирование геометрических фигур.
1. Переложи 3 палочки так, чтобы домик перевернулся в другую сторону (рис. 57) [11, с.55]
Рис. 57
2. В выложенных из палочек равенствах с римскими цифрами допущены ошибки. Как надо переложить по одной палочке, чтобы равенства стали верными? (рис. 58) [10, с.52]
Рис.58
В методических рекомендациях к учебнику по математике для 2 класса встретился единственный разбор одного из таких заданий. Авторы пояснили, что решение задания может вызвать затруднения у части детей и его следует выполнять под руководством учителя [2].
3. 1. Из 9 палочек сложили такую фигуру. Переложи 2 палочки так, чтобы получилось 3 треугольника (рис. 59) [11, с.10]
.
Рис.59
После того как дети разложат 9 счетных палочек одинаковой длины, учитель говорит, что один треугольник уже образовался из разложенных палочек, и просит показать его, а затем остальные палочки.
- Эти палочки лежат парами. Покажите одну из пар. Как получить треугольник, в который входили бы обе палочки этой пары? (Положить палочку из другой пары, которая соединит концы палочек первой пары.) Сделайте это. Сколько получилось треугольников? (2) Сколько треугольников должно получиться? (3) Как получить третий треугольник? (Соединить концы третьей пары палочек, используя оставшуюся палочку от второй пары.) Выполните. Получается такая фигура (рис. 60) [2].
Рис.60
Математические фокусы, основаны на очень простых свойствах чисел и математических действий. Работа с ними, должна сводиться к совместному разбору предложенного фокуса и самостоятельному придумыванию аналогичных фокусов, чтобы затем дети могли сами продемонстрировать их за пределами класса.
Такие занимательные задания также имеют определенное значение:
1) актуализируют существующие у детей знания;
2) позволяют формировать вычислительные навыки;
3) способствуют формированию логического мышления и, следовательно, обоснованной, доказательной речи.
Рассмотрим математический фокус [10, с.71].
Сначала всем детям класса предлагается выполнить этот фокус и ответить на первый вопрос. Второе задание может быть рассмотрено на уроке, а может быть предложено и для самостоятельной работы дома с последующим обсуждением в классе.
Во 2 классе появляются логические задачи на построение умозаключения. Это задачи на перебор различных вариантов отношений, на установление соответствия между элементами двух множеств, Авторы М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, С.В. Степанова рекомендуют решать такие задачи с помощью построения таблицы.
1. У Красной Шапочки в корзине было 14 пирожков: с грибами, с капустой и яблоками. Пирожков с капустой было на 3 больше, чем пирожков с грибами, а пирожков с грибами было больше, чем пирожков с яблоками. Догадайся, сколько могло быть у Красной Шапочки пирожков с яблоками и сколько с грибами.
После чтения «Задачи на смекалку» [10, с. 15] дети повторяют ее условие и вопрос, выполняют схематический чертеж. Учитель объясняет, что эту задачу следует решать подбором чисел, а числа записывать в таблице: в первой строке число пирожков с грибами, во второй - с капустой и в третьей - с яблоками. Запись на доске:
|
Г. |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
К. |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
Я. |
9 |
7 |
5 |
3 |
Предположим, что с грибами был 1 пирожок. Запишем это число в первой строке. Сколько тогда будет пирожков с капустой? (4) Запишем это число во второй строке. Сколько тогда будет пирожков с яблоками? (9) Как узнали? (С грибами и капустой вместе было 5 пирожков, а всего было 14. 14 – 5 = 9.) Запишем это. Подходят ли эти числа по условию задачи? (Нет. Пирожков с грибами должно быть больше, чем с яблоками, а здесь меньше)
Теперь предположим, что с грибами было 2 пирожка. Запишем 2 в первой строке. Сколько тогда будет пирожков с капустой и сколько с яблоками? Запишем эти числа в таблице. Выясняется, что и эти числа не подходят, так как с яблоками пирожков получилось больше, чем с грибами.
Учитель предлагает детям самостоятельно продолжить заполнение таблицы, полагая, что с грибами было 3 пирожка, а затем - 4. Сравнивая в каждом случае полученные числа, дети находят ответ на вопрос задачи: с грибами было 4 пирожка, а с яблоками - 3 пирожка (если продолжить заполнение таблицы, то получится еще одно решение) [2].
Покажем разбор логической задачи из учебника математики для 2 класса [11], которая тоже решается с помощью построения таблицы.
2. У Севы, Димы и Вани есть 3 изделия из бумаги: лиса, собачка и кораблик, по одному у каждого. Известно, что у Севы - не кораблик, а у Вани и Севы - не лиса. У кого какое изделие?
Стоим таблицу:
|
|
лиса |
собачка |
кораблик |
|
Сева |
|
|
|
|
Дима |
|
|
|
|
Ваня |
|
|
|
Отмечаем в таблице знаком «-» то, что у Севы не кораблик и не лиса, остаётся неотмеченной графа «собачка». Следовательно, у Севы – собачка. У Вани – не лиса и не собачка (она у Севы). Следовательно, у Вани – кораблик. Остаётся лиса. Значит, она у Димы. Ответы на вопрос задачи отражены в таблице.
|
|
лиса |
собачка |
кораблик |
|
Сева |
- |
+ |
- |
|
Дима |
+ |
- |
- |
|
Ваня |
- |
- |
+ |
Комбинаторные задачи авторы программы рекомендуют решать методом перебора. Продемонстрируем решение такой задачи.
1. (рис. 61) [10, с.9, № 7].
Рис.61
Итак, надо составить и зарисовать наборы из двух овощей, выбирая их из четырех данных. Можно при составлении зарисовать эти наборы. Чтобы сократить время, можно обозначить овощи начальными буквами их названий (С, М, О, П). Главное, в любом случае обратить внимание детей на систему составления пар. Например, берем первый элемент и составляем пары с остальными, затем берем второй и также составляем пары с остальными, отбрасывая уже составленную пару, и т. д. Затем подсчитываем получившиеся пары. Таким образом, используется не хаотический, а системный перебор.
Задания на установление закономерности в записи ряда чисел, геометрических фигур, таблицы, рекомендуется выполнять устно. Учитель предлагает детям выполнить задание самостоятельно и объяснить решение. Если дети затрудняются, учитель может подсказать способ решения.
Рассмотрим пример задачи на установление закономерности.
Продолжи ряд чисел 7, 11, 14, 18, 21…[11].
Задание выполняется устно. Учитель предлагает детям выполнить его самостоятельно и объяснить решение. Если дети затрудняются, учитель может подсказать способ решения: «Сравните каждое число с числом, которое следует за ним, и установите закономерность полученных разностей».
Дети записывают на доске и в тетрадях разности:
11 – 7 = 4, 14 – 11 = 3, 18 – 14 = 4, 21 – 18 = 3
и замечают, что каждое следующее число сначала больше предыдущего на 4, потом на 3, затем снова на 4, потом на 3 и т. д. Теперь дети могут продолжить ряд: следующим будет число, на 4 большее, чем 21, - это 25; за ним следует число, на 3 большее, чем 25, - это 28 и т. д. [2].
Таким образом, удалось выделить следующие приёмы решения нестандартных математических задач, рекомендованные авторами курса математики по программе «Школа России»: словесное рассуждение (чаще всего), построение таблицы, использование символических обозначений, зарисовывание, конструирование. Многие задачи решаются методом подбора.